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2021年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析(word版_精校版)

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注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只

3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番. 为更好 地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济

则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成,三个 半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC. △ABC 的三边 所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一 点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为 p1 , p2 , p3 ,则

11.已知双曲线 ,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线

两条渐近线的交点分别为 M,N. 若 △OMN 为直角三角形,则 MN =

12.已知正方体的棱长为1 ,每条棱所在直线与平面 所成的角都相等,则 截此正方

15.从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。

(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线)设 O 为坐标原点,证明: OMA OMB .

20.(12 分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作

检验,如检验出不合格品,则更换为合格品. 检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验, 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都 为 p(0 p 1) ,且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) ,求 f ( p) 的最大值点 p0 . (2)现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格品,以(1)中确定的 p0 作 为 p 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对

每件不合格品支付 25 元的赔偿费用. (ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为

X,求 EX; (ⅰ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做 的第一题计分。

22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xO y 中,曲线 的方程为 y k x 2 . 以坐标原点为极点, x 轴正

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的直角坐标方程; (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程.

2018 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学试题答案(详细解析版)

1.【答案】C 【解析】分析:首先根据复数的运算法则,将其化简得到 ,根据复数模的公式,得到 正确结果.

点睛:该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式,利用复数的除法及加法运算法则求得

点睛:该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题,在解题的过程中,需要明确

【解析】分析:首先设出新农村建设前的经济收入为 M,根据题意,得到新农村建设后的经济收入为 2M,

之后从图中各项收入所占的比例,得到其对应的收入是多少,从而可以比较其大小,并且得到其相应的关

则新农村建设前种植收入为 0.6M,而新农村建设后的种植收入为 0.74M,所以种植收入增加了,所以 A

新农村建设前其他收入我 0.04M,新农村建设后其他收入为 0.1M,故增加了一倍以上,所以 B 项正确;

新农村建设前,养殖收入为 0.3M,新农村建设后为 0.6M,所以增加了一倍,所以 C 项正确;

点睛:该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图,要会从图中读出相应的信息即

点睛:该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用,在解题的过程中,需要利用题中的条件,

结合等差数列的求和公式,得到公差 的值,之后利用等差数列的通项公式得到 与 的关系,从而求

【解析】分析:利用奇函数偶此项系数为零求得 ,进而得到 的解析式,再对 求导得出切线的斜

确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得

相应的参数值,之后利用求导公式求得 ,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果.

6.【答案】A 【解析】分析:首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得

点睛:该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法 的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认线.【答案】B 【解析】分析:首先根据题中所给的三视图,得到点 M 和点 N 在圆柱上所处的位置,点 M 在上底面上, 点 N 在下底面上,并且将圆柱的侧面展开图平铺,点 M、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处,根 据平面上两点间直线段最短,利用勾股定理,求得结果. 详解:根据圆柱的三视图以及其本身的特征, 可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角 线的端点处,

点睛:该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两

个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平

【解析】分析:首先根据题中的条件,利用点斜式写出直线的方程,涉及到直线与抛物线相交,联立方程

点睛:该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题,在求解的过程中,首先

需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出

助于抛物线的方程求得 ,最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公

详解:画出函数 的图像, 在 y 轴右侧的去掉,再画出直线 ,之后上下移动,

点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是

将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数

的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果.

点睛:该题考查的是面积型几何概型的有关问题,题中需要解决的是概率的大小,根据面积型几何概型的

概率公式,将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小,利用相关图形的面积公式求得结果.

【解析】分析:首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率,并求得其右焦点的坐标,从而得到

根据直角三角形的条件,可以确定直线 的倾斜角为 或 ,根据相关图形的对称性,得知两种情况

求得的结果是相等的,从而设其倾斜角为 ,利用点斜式写出直线的方程,之后分别与两条渐近线方程

点睛:该题考查的是有关线段长度的问题,在解题的过程中,需要先确定哪两个点之间的距离,再分析点 是怎么来的,从而得到是直线的交点,这样需要先求直线的方程,利用双曲线的方程,可以确定其渐近线 方程,利用直角三角形的条件得到直线 的斜率,结合过右焦点的条件,利用点斜式方程写出直线的方程, 之后联立求得对应点的坐标,之后应用两点间距离公式求得结果. 12.【答案】A 【解析】分析:首先利用正方体的棱是 3 组每组有互相平行的 4 条棱,所以与 12 条棱所成角相等,只需

与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可,从而判断出面的位置,截正方体所得的截面为一个正六边

点睛:该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题,首要任务是需要先确定截面的位 置,之后需要从题的条件中找寻相关的字眼,从而得到其为过六条棱的中点的正六边形,利用六边形的面 积的求法,应用相关的公式求得结果. 二、填空题 13.【答案】6

【解析】分析:首先根据题中所给的约束条件,画出相应的可行域,再将目标函数化成斜截式

时取得最大值,联立方程组,求得点 B 的坐标代入目标函数解析式,求得最大值. 详解:根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:

点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,

之后根据目标函数的形式,判断 z 的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从

而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、

点睛:该题考查的是有关数列的求和问题,在求解的过程中,需要先利用题中的条件,类比着往后写一个 式子,之后两式相减,得到相邻两项之间的关系,从而确定出该数列是等比数列,之后令 ,求得数列 的首项,最后应用等比数列的求和公式求解即可,只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 15. 【答案】16 【解析】分析:首先想到所选的人中没有女生,有多少种选法,再者需要确定从 6 人中任选 3 人总共有多 少种选法,之后应用减法运算,求得结果.

点睛:该题是一道关于组合计数的题目,并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法,总体方法是得出选 3

人的选法种数,间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数,该题还可以用直接法,分别求出有 1 名女

点睛:该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关的函数的求导 公式,需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函 数的最小值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值.

所满足的关系,从而求得结果. 解:(1)在 △ABD 中,由正弦定理得 BD AB .

点睛:该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式

以及余弦定理,在解题的过程中,需要时刻关注题的条件,以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中

18.【解析】分析:(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系,即 BF⊥PF,BF⊥EF,又因为

利用线面垂直的判定定理可以得出 BF⊥平面 PEF,又 平面 ABFD,利用面面垂直的判定定理证得平

(2)结合题意,建立相应的空间直角坐标系,正确写出相应的点的坐标,求得平面 ABFD 的法向量,设 DP

点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解,

属于常规题目,在解题的过程中,需要明确面面垂直的判定定理的条件,这里需要先证明线面垂直,所以

要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系,从而证得结果;对于线面角的正弦值可以借助于平面的法 向量来完成,注意相对应的等量关系即可.

19.【解析】分析:(1)首先根据 与 轴垂直,且过点 ,求得直线,代入椭圆方程求得

,利用两点式求得直线)分直线 l 与 x 轴重合、l 与 x 轴垂直、l 与 x 轴不重合也不垂直三种情况证明,特殊情况比较简单,也

比较直观,对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现,从而证得结果. 解:(1)由已知得 F (1, 0) , l 的方程为 x 1 .

点睛:该题考查的是有关直线与椭圆的问题,涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综

合问题、关于角的大小用斜率来衡量,在解题的过程中,第一问求直线方程的时候,需要注意方法比较简

单,需要注意的就是应该是两个,关于第二问,在做题的时候需要先将特殊情况说明,一般情况下,涉及

到直线与曲线相交都需要联立方程组,之后韦达定理写出两根和与两根积,借助于斜率的关系来得到角是

利用导数在相应区间上的符号,确定其单调性,从而得到其最大值点,这里要注意

求得赔偿费用的期望;在解(ii)的时候,就通过比较两个期望的大小,得到结果. 解:(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) C220 p2 (1 p)18 . 因此

点睛:该题考查的是有关随机变量的问题,在解题的过程中,一是需要明确独立重复试验成功次数对应的

概率公式,再者就是对其用函数的思想来研究,应用导数求得其最小值点,在做第二问的时候,需要明确

离散型随机变量的可取值以及对应的概率,应用期望公式求得结果,再有就是通过期望的大小关系得到结

21.【解析】分析:(1)首先确定函数的定义域,之后对函数求导,之后对 进行分类讨论,从而确定出导

点睛:该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数

研究函数的极值以及极值所满足的条件,在解题的过程中,需要明确导数的符号对单调性的决定性作用,

再者就是要先保证函数的生存权,先确定函数的定义域,要对参数进行讨论,还有就是在做题的时候,要

时刻关注第一问对第二问的影响,再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.

条射线,通过分析图形的特征,得到什么情况下会出现三个公共点,结合直线与圆的位置关系,得到 k 所

由题设知, C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线. 记 y 轴右边的射线 , y 轴左边的射线 . 由于 B 在圆 C2 的外面,故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有

两个公共点,或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点.

点睛:该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题,涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标

方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题,在解题的过程中,需要明确极坐标和平面直角坐标之间的

转换关系,以及曲线相交交点个数结合图形,将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件,

点睛:该题考查的是有关绝对值不等式的解法,以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取

值范围的问题,在解题的过程中,需要会用零点分段法将其化为分段函数,从而将不等式转化为多个不等

式组来解决,关于第二问求参数的取值范围时,可以应用题中所给的自变量的范围,去掉一个绝对值符号,

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